次の極限を求めよ。 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を有利化するために、$\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}$ を分子と分母にかけます。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})(\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n})}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$

分子を計算すると、 $(\sqrt{n^2+n})^2 - (\sqrt{n^2-n})^2 = (n^2+n) - (n^2-n) = 2n$ となります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$

次に、分子と分母を $n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}}$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}} = \frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

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