与えられた積分 $\int \sin x \cos x \cos 2x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sin x \cos x \cos 2x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積和の公式 $2 \sin a \cos b = \sin(a+b) + \sin(a-b)$ を用いて $\sin x \cos x$ を変形します。

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$

したがって、積分は

$\int \sin x \cos x \cos 2x dx = \int \frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x \cos 2x dx$

さらに、再び積和の公式または倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を用いて、$\sin 2x \cos 2x$ を変形します。

$\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin(4x)$

したがって、積分は

$\frac{1}{2} \int \sin 2x \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sin 4x dx = \frac{1}{4} \int \sin 4x dx$

$\int \sin ax dx = -\frac{1}{a} \cos ax + C$ を用いると、

$\frac{1}{4} \int \sin 4x dx = \frac{1}{4} (-\frac{1}{4} \cos 4x) + C = -\frac{1}{16} \cos 4x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{16} \cos 4x + C$