与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 - n} - n}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 - n} - n}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{n^2 - n} + n$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{n^2 - n} - n} = \frac{\sqrt{n^2 - n} + n}{(\sqrt{n^2 - n} - n)(\sqrt{n^2 - n} + n)} = \frac{\sqrt{n^2 - n} + n}{(n^2 - n) - n^2} = \frac{\sqrt{n^2 - n} + n}{-n}$

次に、$\frac{\sqrt{n^2 - n} + n}{-n}$ を変形します。

$\frac{\sqrt{n^2 - n} + n}{-n} = \frac{\sqrt{n^2(1 - \frac{1}{n})} + n}{-n} = \frac{n\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + n}{-n} = \frac{n(\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + 1)}{-n} = -(\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + 1)$

ここで、$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} -(\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + 1) = -(\sqrt{1 - 0} + 1) = -(1 + 1) = -2$

3. 最終的な答え

-2