関数 $y = \cos(\theta + \frac{\pi}{3}) + \cos\theta$ について、$\cos(\theta + \frac{\pi}{3})$ を $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の式で表し、その後、関数 $y$ を $y = \sqrt{\text{コ}} \sin(\theta + \frac{\text{サ}}{\text{シ}}\pi)$ の形に変形する問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos(\theta + \frac{\pi}{3}) + \cos\theta$ について、$\cos(\theta + \frac{\pi}{3})$ を $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の式で表し、その後、関数 $y$ を $y = \sqrt{\text{コ}} \sin(\theta + \frac{\text{サ}}{\text{シ}}\pi)$ の形に変形する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos(\theta + \frac{\pi}{3})$ を加法定理を用いて展開します。

$\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = \cos\theta \cos\frac{\pi}{3} - \sin\theta \sin\frac{\pi}{3}$

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$、$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$

したがって、

$\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{-\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta$

よって、カ = - , キ = 3, ク = 2, ケ = 1

次に、関数 $y$ に代入します。

$y = \cos(\theta + \frac{\pi}{3}) + \cos\theta = \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \cos\theta = \frac{3}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$

$y = \frac{3}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$ を $y = A\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。

$y = A(\sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha) = A\cos\alpha \sin\theta + A\sin\alpha \cos\theta$

係数を比較すると、

$A\cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$A\sin\alpha = \frac{3}{2}$

両辺を2乗して足し合わせると、

$A^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2$

$A^2 = \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$A = \sqrt{3}$

$\cos\alpha = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{A} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

$\sin\alpha = \frac{\frac{3}{2}}{A} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha > 0$ かつ $\cos\alpha < 0$ なので、$\alpha$ は第2象限の角である。

$\alpha = \frac{2}{3}\pi$

したがって、$y = \sqrt{3}\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi)$

よって、コ = 3, サ = 2, シ = 3

3. 最終的な答え

カ = -1

キ = 3

ク = 2

ケ = 1

コ = 3

サ = 2

シ = 3