与えられた無限級数 $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{7}{16} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{7}{16} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める。

2. 解き方の手順

まず、この級数の一般項 $a_n$ を求める。分子は $2n-1$、分母は $4n$ であるから、

$$a_n = \frac{2n-1}{4n} = \frac{2n}{4n} - \frac{1}{4n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4n}$$

となる。

したがって、与えられた無限級数は

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

と表せる。ここで、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は調和級数であり、発散することが知られている。$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}$ も明らかに発散する。発散する級数から発散する級数の定数倍を引いても、級数は発散する。

別の方法として、級数の収束・発散を調べるための必要条件として、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ であることが挙げられる。与えられた級数の一般項 $a_n = \frac{2n-1}{4n}$ に対して、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{4n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \neq 0$$

したがって、この級数は発散する。

3. 最終的な答え

発散する。