与えられた関数 $x$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表す問題です。具体的には、以下の5つの関数について $\frac{dy}{dx}$ を計算します。 (1) $x = -3y^2 + y$ (2) $x = (2-y)^3 + 3$ (3) $x = \frac{1}{y+1}$ (4) $x = \frac{2}{y^2}$ (5) $x = \sqrt{2y-1}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $x$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表す問題です。具体的には、以下の5つの関数について $\frac{dy}{dx}$ を計算します。

(1) $x = -3y^2 + y$

(2) $x = (2-y)^3 + 3$

(3) $x = \frac{1}{y+1}$

(4) $x = \frac{2}{y^2}$

(5) $x = \sqrt{2y-1}$

2. 解き方の手順

(1) $x = -3y^2 + y$ の場合

まず、$\frac{dx}{dy}$ を計算します。

$$\frac{dx}{dy} = -6y + 1$$

次に、$\frac{dy}{dx}$ は $\frac{dx}{dy}$ の逆数であるため、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{-6y + 1}$$

$x = -3y^2 + y$ を変形し、$y$ を $x$ で表すことは難しいので、このままの形で解答とします。

与えられた解答例は$y = \frac{1 \pm \sqrt{1-12x}}{6}$を用いています。

$$y=\frac{1\pm \sqrt{1-12x}}{6}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{-6y+1} = \frac{1}{-6(\frac{1\pm\sqrt{1-12x}}{6})+1} = \frac{1}{-1\mp\sqrt{1-12x}+1} = \frac{1}{\mp\sqrt{1-12x}} = \mp\frac{1}{\sqrt{1-12x}}$$

(2) $x = (2-y)^3 + 3$ の場合

まず、$x - 3 = (2-y)^3$ と変形します。

次に、両辺の3乗根を取ると、$\sqrt[3]{x-3} = 2-y$ となります。

したがって、$y = 2 - \sqrt[3]{x-3}$ となります。

$\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}(x-3)^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-3)^2}}$$

(3) $x = \frac{1}{y+1}$ の場合

$x(y+1) = 1$ より、$y+1 = \frac{1}{x}$ となります。

したがって、$y = \frac{1}{x} - 1$ となります。

$\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$$

(4) $x = \frac{2}{y^2}$ の場合

$y^2 = \frac{2}{x}$ より、$y = \pm \sqrt{\frac{2}{x}}$ となります。

$y = \pm \sqrt{2} x^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$$\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{2} (-\frac{1}{2}) x^{-\frac{3}{2}} = \mp \frac{\sqrt{2}}{2} x^{-\frac{3}{2}} = \mp \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x^3}} = \mp \frac{\sqrt{2}}{2x\sqrt{x}} = \mp \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{2x}}$$

ここで $y=\pm \sqrt{\frac{2}{x}}$ より $\frac{1}{x} = \frac{y^2}{2}$。したがって、

$$\frac{dy}{dx} = \mp \frac{y^2}{2} \sqrt{\frac{1}{2x}} = \mp \frac{y^2}{2} \sqrt{\frac{y^2}{4}} = \mp \frac{y^3}{4}$$

$x = \frac{2}{y^2}$より $y = \pm \sqrt{\frac{2}{x}}$だから、

$$\frac{dy}{dx} = \mp \frac{1}{4} (\frac{2}{x})^{\frac{3}{2}} = \mp \frac{1}{4} \frac{2\sqrt{2}}{x\sqrt{x}} = \mp \frac{\sqrt{2}}{2 x\sqrt{x}}$$

(5) $x = \sqrt{2y-1}$ の場合

$x^2 = 2y-1$ より、$2y = x^2 + 1$ となります。

したがって、$y = \frac{x^2 + 1}{2}$ となります。

$\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$$\frac{dy}{dx} = x$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \mp \frac{1}{\sqrt{1-12x}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-3)^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \mp \frac{\sqrt{2}}{2x\sqrt{x}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = x$