与えられた関数を微分する問題です。今回は、問題番号(1), (5), (6), (10)について解答します。 (1) $y = 2\cos x + 3x$ (5) $y = \frac{2}{\tan x}$ (6) $y = 2x\sin 2x$ (10) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。今回は、問題番号(1), (5), (6), (10)について解答します。

(1) $y = 2\cos x + 3x$

(5) $y = \frac{2}{\tan x}$

(6) $y = 2x\sin 2x$

(10) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2\cos x + 3x$ の微分:

$\cos x$ の微分は $-\sin x$ であり、$x$ の微分は $1$ であることを利用します。

$\frac{dy}{dx} = 2(-\sin x) + 3(1)$

$\frac{dy}{dx} = -2\sin x + 3$

(5) $y = \frac{2}{\tan x}$ の微分:

$y = 2 \cot x$と書き換えます。

$\cot x$ の微分は $-\frac{1}{\sin^2 x}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = 2(-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{2}{\sin^2 x}$

または、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ より、$y = \frac{2 \cos x}{\sin x}$.

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin x \cdot \sin x - 2\cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\frac{2}{\sin^2 x}$.

(6) $y = 2x \sin 2x$ の微分:

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。$u=2x$, $v = \sin 2x$ とおくと、$u' = 2$, $v' = 2\cos 2x$ となります。

$\frac{dy}{dx} = (2x)' \sin 2x + 2x(\sin 2x)'$

$\frac{dy}{dx} = 2\sin 2x + 2x(2\cos 2x)$

$\frac{dy}{dx} = 2\sin 2x + 4x\cos 2x$

(10) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ の微分:

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を利用します。$u = \sin x$, $v = 1 + \cos x$ とおくと、$u' = \cos x$, $v' = -\sin x$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x(1 + \cos x) - \sin x(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \cos x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -2\sin x + 3$

(5) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sin^2 x}$

(6) $\frac{dy}{dx} = 2\sin 2x + 4x\cos 2x$

(10) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \cos x}$