関数 $y = 2\cos(x) + 3x$ を微分して、$y'$ を求めます。

## (1) y = 2cos(x) + 3x の微分

1. 問題の内容

関数 $y = 2\cos(x) + 3x$ を微分して、$y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

微分は線形性を持つので、各項を別々に微分して足し合わせることができます。

* $\cos(x)$ の微分は $-\sin(x)$ です。

* $x$ の微分は $1$ です。

したがって、

$y' = 2 \cdot (-\sin(x)) + 3 \cdot 1$

$y' = -2\sin(x) + 3$

3. 最終的な答え

$y' = -2\sin(x) + 3$

## (2) y = sin(3x+2) の微分

1. 問題の内容

関数 $y = \sin(3x+2)$ を微分して、$y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分(chain rule)を利用します。

$y' = \cos(3x+2) \cdot (3x+2)'$

$y' = \cos(3x+2) \cdot 3$

$y' = 3\cos(3x+2)$

3. 最終的な答え

$y' = 3\cos(3x+2)$

## (3) y = sin^4(x) の微分

1. 問題の内容

関数 $y = (\sin(x))^4$ を微分して、$y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分(chain rule)を利用します。

$y = u^4$, $u = \sin(x)$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 4u^3 = 4(\sin(x))^3$

$\frac{du}{dx} = \cos(x)$

したがって、

$y' = 4(\sin(x))^3 \cdot \cos(x)$

$y' = 4\sin^3(x)\cos(x)$

3. 最終的な答え

$y' = 4\sin^3(x)\cos(x)$

## (4) y = tan(cos(x)) の微分

1. 問題の内容

関数 $y = \tan(\cos(x))$ を微分して、$y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分(chain rule)を2回利用します。

$y = \tan(u)$, $u = \cos(x)$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\cos^2(u)} = \frac{1}{\cos^2(\cos(x))}$

$\frac{du}{dx} = -\sin(x)$

したがって、

$y' = \frac{1}{\cos^2(\cos(x))} \cdot (-\sin(x))$

$y' = -\frac{\sin(x)}{\cos^2(\cos(x))}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{\sin(x)}{\cos^2(\cos(x))}$