関数 $f(x) = e^{x^2}$ のマクローリン展開（$x=0$ でのテイラー展開）を3次の項まで求める問題です。剰余項は求めず、4次以降については、$R$ や $Rx^4$ などと記述してよいです。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{x^2}$ のマクローリン展開（$x=0$ でのテイラー展開）を3次の項まで求める問題です。剰余項は求めず、4次以降については、$R$ や $Rx^4$ などと記述してよいです。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、テイラー展開の特別な場合で、$x=0$ 周りでの展開です。一般に、関数 $f(x)$ のマクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

したがって、$f(x) = e^{x^2}$ のマクローリン展開を求めるには、$f(0), f'(0), f''(0), f'''(0)$ を計算する必要があります。

まず、$f(x) = e^{x^2}$ より、

$f(0) = e^{0^2} = e^0 = 1$

次に、微分を計算します。

$f'(x) = 2xe^{x^2}$

$f'(0) = 2(0)e^{0^2} = 0$

$f''(x) = 2e^{x^2} + 2x(2xe^{x^2}) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} = (2 + 4x^2)e^{x^2}$

$f''(0) = (2 + 4(0)^2)e^{0^2} = 2$

$f'''(x) = 8xe^{x^2} + (2 + 4x^2)(2xe^{x^2}) = 8xe^{x^2} + (4x + 8x^3)e^{x^2} = (12x + 8x^3)e^{x^2}$

$f'''(0) = (12(0) + 8(0)^3)e^{0^2} = 0$

したがって、マクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = 1 + 0x + \frac{2}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \dots = 1 + x^2 + R$

ここで、$R$ は4次以降の項を表します。

3. 最終的な答え

$f(x) = 1 + x^2 + R$