無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k(k+3)}$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める問題です。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k(k+3)}$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{k(k+3)}$ を部分分数分解します。

$\frac{2}{k(k+3)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+3}$ とおくと、

$2 = A(k+3) + Bk$

$2 = (A+B)k + 3A$

したがって、$A+B = 0$ かつ $3A = 2$ となります。

これから、$A = \frac{2}{3}$ および $B = -\frac{2}{3}$ となります。

よって、$\frac{2}{k(k+3)} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+3} \right)$ と書けます。

次に、部分和 $S_n$ を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+3)} = \frac{2}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+3} \right)$

$S_n = \frac{2}{3} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+1} \right) + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+2} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) \right]$

$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$

最後に、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を計算します。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 0 - 0 - 0 \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{6+3+2}{6} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{9}$

3. 最終的な答え

この無限級数は収束し、その和は $\frac{11}{9}$ です。