与えられた関数 $e^{-3t} \frac{d}{dt} \{e^{3t}(\sin{3t} + \cos{3t})\}$ の微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $e^{-3t} \frac{d}{dt} \{e^{3t}(\sin{3t} + \cos{3t})\}$ の微分を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積の微分公式を使って、$\frac{d}{dt} \{e^{3t}(\sin{3t} + \cos{3t})\}$ を計算します。

積の微分公式は $\frac{d}{dt}(fg) = f'g + fg'$ です。ここで、$f = e^{3t}$、 $g = \sin{3t} + \cos{3t}$ とします。

$f' = \frac{d}{dt}e^{3t} = 3e^{3t}$

$g' = \frac{d}{dt}(\sin{3t} + \cos{3t}) = 3\cos{3t} - 3\sin{3t}$

従って、

$\frac{d}{dt} \{e^{3t}(\sin{3t} + \cos{3t})\} = 3e^{3t}(\sin{3t} + \cos{3t}) + e^{3t}(3\cos{3t} - 3\sin{3t}) = 3e^{3t}\sin{3t} + 3e^{3t}\cos{3t} + 3e^{3t}\cos{3t} - 3e^{3t}\sin{3t} = 6e^{3t}\cos{3t}$

よって、$e^{-3t} \frac{d}{dt} \{e^{3t}(\sin{3t} + \cos{3t})\} = e^{-3t}(6e^{3t}\cos{3t}) = 6\cos{3t}$

3. 最終的な答え

$6\cos{3t}$