微分の定義より、$(\sin \theta)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\theta + h) - \sin \theta}{h}$ 三角関数の加法定理より、$\sin(\theta + h) = \sin \theta \cos h + \cos \theta \sin h$ これらを代入すると、 $(\sin \theta)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin \theta \cos h + \cos \theta \sin h - \sin \theta}{h}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin \theta (\cos h - 1) + \cos \theta \sin h}{h}$ $= \lim_{h \to 0} \sin \theta \frac{\cos h - 1}{h} + \lim_{h \to 0} \cos \theta \frac{\sin h}{h}$ ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ であり、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ である（これは式(28),(29)にあたると考えられる）ので、 $(\sin \theta)' = \sin \theta \cdot 0 + \cos \theta \cdot 1 = \cos \theta$

## 問題の概要

問題5では、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を利用して、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の1階微分を求める問題です。

問題6では、$f(x)$ と $g(x)$ が微分可能 ($g(x) \ne 0$) のとき、以下の関数の微分を微分の定義から導く問題です。

(1) $f(x)g(x)$

(2) $\frac{f(x)}{g(x)}$

## 解き方の手順

### 問題5

1. $\sin \theta$ の微分を求める。

微分の定義より、$(\sin \theta)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\theta + h) - \sin \theta}{h}$

三角関数の加法定理より、$\sin(\theta + h) = \sin \theta \cos h + \cos \theta \sin h$

これらを代入すると、

$(\sin \theta)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin \theta \cos h + \cos \theta \sin h - \sin \theta}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin \theta (\cos h - 1) + \cos \theta \sin h}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \sin \theta \frac{\cos h - 1}{h} + \lim_{h \to 0} \cos \theta \frac{\sin h}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ であり、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ である（これは式(28),(29)にあたると考えられる）ので、

$(\sin \theta)' = \sin \theta \cdot 0 + \cos \theta \cdot 1 = \cos \theta$

2. $\cos \theta$ の微分を求める。

微分の定義より、$(\cos \theta)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(\theta + h) - \cos \theta}{h}$

三角関数の加法定理より、$\cos(\theta + h) = \cos \theta \cos h - \sin \theta \sin h$

これらを代入すると、

$(\cos \theta)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos \theta \cos h - \sin \theta \sin h - \cos \theta}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\cos \theta (\cos h - 1) - \sin \theta \sin h}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \cos \theta \frac{\cos h - 1}{h} - \lim_{h \to 0} \sin \theta \frac{\sin h}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ であり、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ であるので、

$(\cos \theta)' = \cos \theta \cdot 0 - \sin \theta \cdot 1 = -\sin \theta$

### 問題6

(1) $f(x)g(x)$ の微分を求める。

微分の定義より、

$(f(x)g(x))' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$

ここで、$f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) = f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)$ と変形する。

すると、

$(f(x)g(x))' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)(g(x+h) - g(x)) + g(x)(f(x+h) - f(x))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} f(x+h) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + \lim_{h \to 0} g(x) \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$h \to 0$ のとき、$f(x+h) \to f(x)$ であり、$\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)$、$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)$ であるので、

$(f(x)g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

(2) $\frac{f(x)}{g(x)}$ の微分を求める。

微分の定義より、

$(\frac{f(x)}{g(x)})' = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h g(x) g(x+h)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x+h)}{h g(x) g(x+h)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{g(x)(f(x+h) - f(x)) - f(x)(g(x+h) - g(x))}{h g(x) g(x+h)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{g(x) \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - f(x) \frac{g(x+h) - g(x)}{h}}{g(x) g(x+h)}$

$h \to 0$ のとき、$g(x+h) \to g(x)$ であり、$\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)$、$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)$ であるので、

$(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

## 最終的な答え

問題5:

* $(\sin \theta)' = \cos \theta$

* $(\cos \theta)' = -\sin \theta$

問題6:

(1) $(f(x)g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

(2) $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$