与えられた数列の極限を求めます。具体的には、 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \sin(\frac{2n\pi}{3})$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求めます。具体的には、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \sin(\frac{2n\pi}{3})$

を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin(\frac{2n\pi}{3})$ の値は $-1$ から $1$ の間の値を取ります。すなわち、任意の $n$ に対して

$-1 \le \sin(\frac{2n\pi}{3}) \le 1$

が成立します。

したがって、

$-\frac{1}{2^n} \le \frac{1}{2^n} \sin(\frac{2n\pi}{3}) \le \frac{1}{2^n}$

となります。

$n \to \infty$ のとき、$2^n \to \infty$ となるので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$

$\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{2^n} = 0$

となります。

したがって、挟み撃ちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \sin(\frac{2n\pi}{3}) = 0$

となります。

3. 最終的な答え

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