媒介変数 $t$ で表された関数 $x = \sin^2 t$、 $y = 2 \cos t$ について、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された関数 $x = \sin^2 t$、 $y = 2 \cos t$ について、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin^2 t$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin^2 t)$

合成関数の微分法を用いると、

$\frac{dx}{dt} = 2 \sin t \cdot \frac{d}{dt}(\sin t)$

$\frac{dx}{dt} = 2 \sin t \cos t$

次に、$y = 2 \cos t$ を $t$ で微分します。

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2 \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = 2 \frac{d}{dt}(\cos t)$

$\cos t$ の微分は $-\sin t$ なので、

$\frac{dy}{dt} = -2 \sin t$

3. 最終的な答え

$\frac{dx}{dt} = 2 \sin t \cos t$

$\frac{dy}{dt} = -2 \sin t$