$x=a$ で微分可能な関数 $f(x)$ について、極限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h}$ を $f'(a)$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

$x=a$ で微分可能な関数 $f(x)$ について、極限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h}$ を $f'(a)$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

与えられた極限を、$f'(a)$ の定義を利用できるように変形します。$f'(a)$ の定義は以下の通りです。

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

与えられた極限の分子を $f(a+2h) - f(a) + f(a) - f(a-3h)$ と変形します。すると、

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\lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h) - f(a) + f(a) - f(a-3h)}{h}

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= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h) - f(a)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-3h)}{h}

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ここで、1つ目の極限は $2h = t$ とおくと、 $h \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、

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\lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h) - f(a)}{h} = \lim_{t \to 0} \frac{f(a+t) - f(a)}{\frac{t}{2}} = 2\lim_{t \to 0} \frac{f(a+t) - f(a)}{t} = 2f'(a)

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2つ目の極限は $-3h = u$ とおくと、 $h \to 0$ のとき $u \to 0$ なので、

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\lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-3h)}{h} = \lim_{u \to 0} \frac{f(a) - f(a+u)}{-\frac{u}{3}} = 3\lim_{u \to 0} \frac{f(a+u) - f(a)}{u} = 3f'(a)

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したがって、

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\lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h} = 2f'(a) + 3f'(a) = 5f'(a)

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3. 最終的な答え

$5$