$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \sin{\frac{2n\pi}{3}}$ の極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \sin{\frac{2n\pi}{3}}$ の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin$ 関数の範囲を考えます。$\sin$ 関数は $-1$ から $1$ の間の値を取ります。つまり、

$$-1 \leq \sin{\frac{2n\pi}{3}} \leq 1$$

この不等式を $2^n$ で割ると、

$$-\frac{1}{2^n} \leq \frac{1}{2^n} \sin{\frac{2n\pi}{3}} \leq \frac{1}{2^n}$$

ここで、$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{2^n} \to 0$ です。したがって、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{2^n} = 0$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$$

なので、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \sin{\frac{2n\pi}{3}} = 0$$

3. 最終的な答え

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