与えられた2つの極限値を計算する問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n+1}$ (2) $\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n^2})^n$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を計算する問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n+1}$

(2) $\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n^2})^n$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n+1}$を計算します。$\sqrt[n]{n}$の極限が1になることを利用します。

$n < n+1 < 2n$ (十分大きい$n$に対して)が成立します。

$\sqrt[n]{n} < \sqrt[n]{n+1} < \sqrt[n]{2n} = \sqrt[n]{2} \sqrt[n]{n}$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ かつ $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} = 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2}\sqrt[n]{n} = 1$となります。

したがって、挟みうちの原理より、$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n+1} = 1$

(2)

$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n^2})^n$を計算します。

$y = (1-\frac{1}{n^2})^n$とおき、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = n \ln(1-\frac{1}{n^2})$

$\frac{1}{n^2}$は$n \to \infty$で0に近づくので、$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$の近似式を利用します。

$\ln(1-\frac{1}{n^2}) \approx -\frac{1}{n^2}$

$\ln y \approx n (-\frac{1}{n^2}) = -\frac{1}{n}$

$\lim_{n \to \infty} \ln y = \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0$

したがって、$\lim_{n \to \infty} y = e^0 = 1$

$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n^2})^n = 1$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1