与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(-5)^n}$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(-5)^n}$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は等比級数です。

等比級数は、一般的に $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ と表されます。

この問題の級数は、初項 $a = -\frac{1}{5}$、公比 $r = -\frac{1}{5}$ の等比級数と見なせます。

等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ が収束するための条件は、 $|r| < 1$ です。このとき、級数の和は $\frac{a}{1-r}$ で与えられます。

この問題では、$r = -\frac{1}{5}$ なので、 $|r| = \frac{1}{5} < 1$ であり、級数は収束します。

級数の和は、

$S = \frac{a}{1-r} = \frac{-\frac{1}{5}}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{-\frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{-\frac{1}{5}}{\frac{6}{5}} = -\frac{1}{5} \times \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}$

となります。

3. 最終的な答え

与えられた無限級数は収束し、その和は $-\frac{1}{6}$ です。