無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(-5)^n}$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(-5)^n}$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める。

2. 解き方の手順

この無限級数は、初項 $a = -\frac{1}{5}$、公比 $r = -\frac{1}{5}$ の等比級数である。

等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ は、$|r|<1$ のとき収束し、その和は $\frac{a}{1-r}$ である。

今回の級数は $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(-5)^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{5}\right)^n$ であり、初項を $a$、公比を $r$ とすると、$a = -\frac{1}{5}$、 $r = -\frac{1}{5}$ となる。

$|r| = \left|-\frac{1}{5}\right| = \frac{1}{5} < 1$ であるため、この等比級数は収束する。

しかし、上記の公式は $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$の形である必要がある。今回の問題は、$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n}$の形である。そこで、公式を少し修正する。

$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n} = \frac{ar}{1-r}$

今回の問題の場合、$a = -\frac{1}{5}$、$r = -\frac{1}{5}$ なので、和は以下のようになる。

$\frac{ar}{1-r} = \frac{(-\frac{1}{5})(-\frac{1}{5})}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{\frac{1}{25}}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{25}}{\frac{6}{5}} = \frac{1}{25} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{30}$

3. 最終的な答え

この無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{30}$ である。