無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$ の収束・発散を調べ、収束するならばその和を求める。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$ の収束・発散を調べ、収束するならばその和を求める。

2. 解き方の手順

まず、一般項を有利化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$ の分母と分子に $\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ をかけると、

$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

したがって、与えられた無限級数は、

$\sum_{k=1}^{\infty} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

となります。これは、部分和 $S_n$ を考えると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \sqrt{n+1} - 1$

となります。これはtelescoping sumと呼ばれるものです。

次に、$n \to \infty$ の極限を考えます。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - 1) = \infty$

部分和の極限が無限大に発散するため、与えられた無限級数は発散します。

3. 最終的な答え

与えられた無限級数は発散する。