次の2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n+1}$ (2) $\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n^2})^n$

1. 問題の内容

次の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n+1}$

(2) $\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n^2})^n$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n+1}$ の計算

まず、$n+1 > 1$ なので $\sqrt[n]{n+1} > 1$です。$\sqrt[n]{n+1}=1+h_n$ とおくと、$h_n > 0$です。このとき、

$n+1 = (1+h_n)^n = 1 + nh_n + \frac{n(n-1)}{2} h_n^2 + \dots > \frac{n(n-1)}{2} h_n^2$

となるので、

$h_n^2 < \frac{2(n+1)}{n(n-1)}$

$0 < h_n < \sqrt{\frac{2(n+1)}{n(n-1)}}$

$\lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2(n+1)}{n(n-1)}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2(1+1/n)}{n(1-1/n)}} = 0$

したがって、$\lim_{n\to\infty} h_n = 0$

$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n+1} = \lim_{n\to\infty} (1+h_n) = 1$

(2) $\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n^2})^n$ の計算

$y_n = (1-\frac{1}{n^2})^n$ とおくと、

$\log y_n = n \log (1-\frac{1}{n^2})$

$x$ が小さいとき $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ なので、

$\log(1-\frac{1}{n^2}) = -\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} - \frac{1}{3n^6} - \dots$

$\log y_n = n (-\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} - \frac{1}{3n^6} - \dots) = -\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^3} - \frac{1}{3n^5} - \dots$

$\lim_{n\to\infty} \log y_n = 0$

$\lim_{n\to\infty} y_n = e^0 = 1$

$\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n^2})^n = 1$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1