実数 $a$ に対して、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$ を示す問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a$ が正の整数である場合について考えます。

$n > a$ であるような $n$ をとります。

このとき、

$$$$

\frac{a^n}{n!} = \frac{a}{1} \cdot \frac{a}{2} \cdots \frac{a}{a} \cdot \frac{a}{a+1} \cdots \frac{a}{n}

$$$$

となります。

$C = \frac{a^a}{a!}$ とおくと、

$$$$

\frac{a^n}{n!} = C \cdot \frac{a}{a+1} \cdot \frac{a}{a+2} \cdots \frac{a}{n}

$$$$

と書けます。

ここで、$0 < \frac{a}{a+k} < 1$ ($k \geq 1$) であるので、

$$$$

\frac{a^n}{n!} = C \cdot \frac{a}{a+1} \cdots \frac{a}{n} < C \cdot (\frac{a}{a+1})^{n-a}

$$$$

となります。

$0 < \frac{a}{a+1} < 1$ であるから、$n \to \infty$ のとき $(\frac{a}{a+1})^{n-a} \to 0$ となります。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$ が成り立ちます。

次に、一般の実数 $a$ について考えます。

$N$ を $|a| < N$ を満たす正の整数とします。

すると、

$$$$

\left| \frac{a^n}{n!} \right| = \frac{|a|^n}{n!} < \frac{N^n}{n!}

$$$$

が成り立ちます。

上で示したように、$\lim_{n \to \infty} \frac{N^n}{n!} = 0$ ですから、$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a^n}{n!} \right| = 0$ となります。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$