自然対数の底の定義 $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$ を利用して、$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

自然対数の底の定義 $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$ を利用して、$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n$ を求めるために、まず $m = -n$ と置換します。このとき、$n \to \infty$ ならば $m \to -\infty$ となります。したがって、

$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n = \lim_{m \to -\infty} (1+\frac{1}{m})^{-m}$

ここで、$m = -k$ と置き換えることで、$m \to -\infty$ ならば $k \to \infty$ となります。

$\lim_{m \to -\infty} (1+\frac{1}{m})^{-m} = \lim_{k \to \infty} (1-\frac{1}{k})^{k} = \lim_{k \to \infty} (\frac{k-1}{k})^k$

式を変形します。

$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-1}{n})^n$

$x = -1$ とおくと、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$　を利用します。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$