関数 $f(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 6x + 2}{x^2 - x + 1}$ の最小値を求める問題です。ただし、$x$ は実数です。また、関数を部分的に変形していく過程で空欄を埋める必要があります。相加平均と相乗平均の関係を利用することも指示されています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 6x + 2}{x^2 - x + 1}$ の最小値を求める問題です。ただし、$x$ は実数です。また、関数を部分的に変形していく過程で空欄を埋める必要があります。相加平均と相乗平均の関係を利用することも指示されています。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 6x + 2$ を $x^2 - x + 1$ で割ります。

$x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 6x + 2 = (x^2 - x + 1)(x^2 - x - 6) + 8$

したがって、商は $x^2 - x - 6$、余りは $8$ です。よって、アは $6$、イは $8$ です。

$f(x) = x^2 - x - 6 + \frac{8}{x^2 - x + 1}$

次に、式を $x^2 - x + 1$ を含むように変形します。

$f(x) = x^2 - x + 1 + \frac{8}{x^2 - x + 1} - 7$

したがって、ウは $7$ です。

$x^2 - x + 1$ の最小値を求めます。平方完成すると、

$x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

したがって、$x^2 - x + 1$ の最小値は $\frac{3}{4}$ です。よって、エは $3$、オは $4$ です。

相加平均と相乗平均の関係を利用すると、

$x^2 - x + 1 + \frac{8}{x^2 - x + 1} \geq 2 \sqrt{(x^2 - x + 1) \cdot \frac{8}{x^2 - x + 1}} = 2 \sqrt{8} = 4 \sqrt{2}$

等号が成立するのは $x^2 - x + 1 = \frac{8}{x^2 - x + 1}$ のとき、つまり $(x^2 - x + 1)^2 = 8$ のときです。よって、$x^2 - x + 1 = 2\sqrt{2}$ となります。

相加平均と相乗平均の関係を用いるには、 $x^2-x+1 = \frac{8}{x^2-x+1}$ となる時なので、$x^2 - x + 1 = 2\sqrt{2}$となるxが存在する必要があるので、別の方法で$f(x)$の最小値を考えます。

$f(x) = x^2 - x + 1 + \frac{8}{x^2 - x + 1} - 7$ において、$t=x^2-x+1$ とおくと、 $t \ge \frac{3}{4}$ なので、$f(x) = t + \frac{8}{t} - 7$ の最小値を考えます。$f'(x) = 1-\frac{8}{t^2}$ より、$t=2\sqrt{2}$の時に最小値をとります。$f(2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + \frac{8}{2\sqrt{2}} - 7 = 4\sqrt{2} - 7$

$x^2 - x + 1 = 2\sqrt{2}$ を解くと、$x = \frac{1 \pm \sqrt{8\sqrt{2} - 3}}{2}$

$x^2 - x + 1 = 2\sqrt{2}$ を満たすxは存在するので、$f(x)$ の最小値は $4\sqrt{2}-7$ となります。

ここで、 相加相乗平均の関係から、最小になるのは

$x^2-x+1=\frac{8}{x^2-x+1}$

となる場合で

$x^2-x+1=2\sqrt{2}$なので、$x^2-x+(1-2\sqrt{2})=0$となり

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(1-2\sqrt{2})}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{8\sqrt{2} -3}}{2}$です。

カキ = $1$、$2$、ク=どちらでも良い とすると

最小値ケコは、$4\sqrt{2}-7$

3. 最終的な答え

ア：6

イ：8

ウ：7

エ：3

オ：4

カキ：1

ク：2

ケコ：4√2-7