次の変数分離形微分方程式を解く問題です。 (1) $yy' + x = 0$ (2) $y^2 dx - x^3 dy = 0$

1. 問題の内容

次の変数分離形微分方程式を解く問題です。

(1) $yy' + x = 0$

(2) $y^2 dx - x^3 dy = 0$

2. 解き方の手順

(1) $yy' + x = 0$ を解きます。ここで、$y' = \frac{dy}{dx}$ であることに注意します。

まず、式を整理します。

$y \frac{dy}{dx} = -x$

両辺に $dx$ をかけると、

$y dy = -x dx$

両辺を積分します。

$\int y dy = \int -x dx$

$\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C$

両辺に2をかけて整理します。

$y^2 = -x^2 + 2C$

$x^2 + y^2 = 2C$

$x^2 + y^2 = C'$ (ここで $C' = 2C$ とおきました。)

(2) $y^2 dx - x^3 dy = 0$ を解きます。

式を整理します。

$y^2 dx = x^3 dy$

両辺を $x^3 y^2$ で割ると、

$\frac{dx}{x^3} = \frac{dy}{y^2}$

$\int \frac{1}{x^3} dx = \int \frac{1}{y^2} dy$

$\int x^{-3} dx = \int y^{-2} dy$

$-\frac{1}{2}x^{-2} = -y^{-1} + C$

$-\frac{1}{2x^2} = -\frac{1}{y} + C$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{2x^2} + C$

$\frac{1}{y} = \frac{1 + 2Cx^2}{2x^2}$

$y = \frac{2x^2}{1 + 2Cx^2}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = C'$

(2) $y = \frac{2x^2}{1 + 2Cx^2}$