与えられた1階微分方程式 $(xy^2 + y^2)dx + (x^2 + x^2y)dy = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた1階微分方程式

$(xy^2 + y^2)dx + (x^2 + x^2y)dy = 0$

を解く。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は、

$y^2(x+1)dx + x^2(1+y)dy = 0$

と変形できる。

変数分離を行うと、

$\frac{x+1}{x^2}dx + \frac{1+y}{y^2}dy = 0$

となる。

さらに変形すると、

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})dx + (\frac{1}{y^2} + \frac{1}{y})dy = 0$

となる。

両辺を積分すると、

$\int(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})dx + \int(\frac{1}{y} + \frac{1}{y^2})dy = C$

$\int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x^2} dx + \int \frac{1}{y} dy + \int \frac{1}{y^2} dy = C$

$\ln |x| - \frac{1}{x} + \ln |y| - \frac{1}{y} = C$

$\ln |xy| - (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = C$

$\ln |xy| - \frac{x+y}{xy} = C$

3. 最終的な答え

$\ln |xy| - \frac{x+y}{xy} = C$