問題(4)は、関数 $\cos(\omega t + a)$ の、$t$ に関する5階微分 $\frac{d^5}{dt^5} [\cos(\omega t + a)]$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題(4)は、関数 $\cos(\omega t + a)$ の、$t$ に関する5階微分 $\frac{d^5}{dt^5} [\cos(\omega t + a)]$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の微分を繰り返して求めることを考えます。

まず、$\cos(x)$ の微分は $-\sin(x)$ であり、$\sin(x)$ の微分は $\cos(x)$ であることを利用します。

また、合成関数の微分公式から $\frac{d}{dt} f(\omega t + a) = \omega f'(\omega t + a)$ となります。

したがって、

1階微分: $\frac{d}{dt} \cos(\omega t + a) = -\omega \sin(\omega t + a)$

2階微分: $\frac{d^2}{dt^2} \cos(\omega t + a) = -\omega^2 \cos(\omega t + a)$

3階微分: $\frac{d^3}{dt^3} \cos(\omega t + a) = \omega^3 \sin(\omega t + a)$

4階微分: $\frac{d^4}{dt^4} \cos(\omega t + a) = \omega^4 \cos(\omega t + a)$

5階微分: $\frac{d^5}{dt^5} \cos(\omega t + a) = -\omega^5 \sin(\omega t + a)$

3. 最終的な答え

$\frac{d^5}{dt^5} \cos(\omega t + a) = -\omega^5 \sin(\omega t + a)$