与えられた無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k+1)!}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k+1)!}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{k}{(k+1)!}$ を部分分数分解します。

$k = (k+1) - 1$ なので、

$$\frac{k}{(k+1)!} = \frac{(k+1) - 1}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}$$

したがって、級数は次のようになります。

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k+1)!} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} \right)$$

これは望遠鏡和（telescoping sum）の形になっているので、部分和を考えます。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} \right) = \left( \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} \right) + \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \right)$$

隣り合う項が打ち消し合うため、

$$S_n = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$$

無限級数の和は部分和の極限で与えられるので、

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k+1)!} = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{(n+1)!} \right)$$

$n \to \infty$ のとき、$(n+1)! \to \infty$ であるから $\frac{1}{(n+1)!} \to 0$ となります。

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k+1)!} = 1 - 0 = 1$$

3. 最終的な答え

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