定積分 $\int_{0}^{2} (x^2 + x + 5) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} (x^2 + x + 5) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分する関数 $x^2 + x + 5$ の不定積分を求めます。

$x^2$ の不定積分は $\frac{1}{3}x^3$ です。

$x$ の不定積分は $\frac{1}{2}x^2$ です。

$5$ の不定積分は $5x$ です。

したがって、$x^2 + x + 5$ の不定積分は $\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 5x$ です。

次に、定積分の計算を行います。不定積分に積分上限の 2 と積分下限の 0 を代入し、その差を計算します。

積分上限を代入すると、

$\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 + 5(2) = \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 10 = \frac{8}{3} + 2 + 10 = \frac{8}{3} + 12 = \frac{8}{3} + \frac{36}{3} = \frac{44}{3}$

積分下限を代入すると、

$\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 + 5(0) = 0$

したがって、定積分は

$\frac{44}{3} - 0 = \frac{44}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{44}{3}$