定積分 $\int_{0}^{1} x^2 e^{2x^3} dx$ を計算する問題です。$2x^3 = t$ と変数変換し、積分範囲を変更し、積分を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} x^2 e^{2x^3} dx$ を計算する問題です。$2x^3 = t$ と変数変換し、積分範囲を変更し、積分を計算します。

2. 解き方の手順

ステップ1：変数変換

$2x^3 = t$ とおくと、$dt = 6x^2 dx$ となります。したがって、$x^2 dx = \frac{1}{6} dt$。

これは、問題文中の空欄8と空欄9にそれぞれ6と2が入ることを意味します。

ステップ2：積分範囲の変更

$x=0$ のとき、$t = 2(0)^3 = 0$。

$x=1$ のとき、$t = 2(1)^3 = 2$。

これは、問題文中の空欄10と空欄11にそれぞれ0と2が入ることを意味します。

ステップ3：定積分の計算

$\int_{0}^{1} x^2 e^{2x^3} dx = \int_{0}^{2} e^t \cdot \frac{1}{6} dt = \frac{1}{6} \int_{0}^{2} e^t dt = \frac{1}{6} [e^t]_{0}^{2} = \frac{1}{6} (e^2 - e^0) = \frac{1}{6} (e^2 - 1)$。

これは、問題文中の空欄12と空欄13にそれぞれ1と6が、空欄14と空欄15にそれぞれ2と1が入ることを意味します。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}(e^2 - 1)$