与えられた不定積分を計算せよ。 (1) $\int \frac{3x^2+7x-2}{x+3} dx$ (2) $\int \frac{3x-23}{x^2-8x+15} dx$

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算せよ。

(1) $\int \frac{3x^2+7x-2}{x+3} dx$

(2) $\int \frac{3x-23}{x^2-8x+15} dx$

2. 解き方の手順

(1)

被積分関数 $\frac{3x^2+7x-2}{x+3}$ を多項式と分数に分解するために、分子を分母で割ります。

$3x^2+7x-2 = (x+3)(3x-2) + 4$

したがって、

$\frac{3x^2+7x-2}{x+3} = 3x-2+\frac{4}{x+3}$

積分を実行します。

$\int \frac{3x^2+7x-2}{x+3} dx = \int (3x-2+\frac{4}{x+3}) dx$

$\int 3x dx = \frac{3}{2}x^2$

$\int -2 dx = -2x$

$\int \frac{4}{x+3} dx = 4\ln|x+3|$

したがって、

$\int \frac{3x^2+7x-2}{x+3} dx = \frac{3}{2}x^2 - 2x + 4\ln|x+3| + C$

(2)

被積分関数 $\frac{3x-23}{x^2-8x+15}$ を部分分数分解します。

$x^2-8x+15 = (x-3)(x-5)$

$\frac{3x-23}{(x-3)(x-5)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-5}$

$3x-23 = A(x-5) + B(x-3)$

$x=3$ のとき, $9-23 = -2A \implies -14 = -2A \implies A = 7$

$x=5$ のとき, $15-23 = 2B \implies -8 = 2B \implies B = -4$

したがって、

$\frac{3x-23}{x^2-8x+15} = \frac{7}{x-3} - \frac{4}{x-5}$

積分を実行します。

$\int \frac{3x-23}{x^2-8x+15} dx = \int (\frac{7}{x-3} - \frac{4}{x-5}) dx$

$\int \frac{7}{x-3} dx = 7\ln|x-3|$

$\int -\frac{4}{x-5} dx = -4\ln|x-5|$

したがって、

$\int \frac{3x-23}{x^2-8x+15} dx = 7\ln|x-3| - 4\ln|x-5| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}x^2 - 2x + 4\ln|x+3| + C$

(2) $7\ln|x-3| - 4\ln|x-5| + C$