与えられた4つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_1^2 \frac{x^2+2}{x^3} dx$ (2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x| dx$ (3) $\int_0^4 \frac{1}{16+x^2} dx$ (4) $\int_{-\pi}^\pi (x^4 + x^3 + x) dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_1^2 \frac{x^2+2}{x^3} dx$

(2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x| dx$

(3) $\int_0^4 \frac{1}{16+x^2} dx$

(4) $\int_{-\pi}^\pi (x^4 + x^3 + x) dx$

2. 解き方の手順

(1)

被積分関数を分解し、積分します。

$\int_1^2 \frac{x^2+2}{x^3} dx = \int_1^2 (\frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}) dx = \int_1^2 (\frac{1}{x} + 2x^{-3}) dx$

$= [\ln|x| - x^{-2}]_1^2 = (\ln 2 - \frac{1}{4}) - (\ln 1 - 1) = \ln 2 - \frac{1}{4} + 1 = \ln 2 + \frac{3}{4}$

(2)

$\cos x$ は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ で非負なので、絶対値を外して積分できます。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x| dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$

(3)

$\int_0^4 \frac{1}{16+x^2} dx = \int_0^4 \frac{1}{4^2+x^2} dx$

ここで、$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ を用います。

$= [\frac{1}{4} \arctan(\frac{x}{4})]_0^4 = \frac{1}{4} \arctan(1) - \frac{1}{4} \arctan(0) = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{16}$

(4)

$x^3$ と $x$ は奇関数なので、$-\pi$ から $\pi$ までの積分は0になります。$x^4$ は偶関数なので、積分区間を$[0, \pi]$ に変えて2倍します。

$\int_{-\pi}^\pi (x^4 + x^3 + x) dx = \int_{-\pi}^\pi x^4 dx + \int_{-\pi}^\pi x^3 dx + \int_{-\pi}^\pi x dx = \int_{-\pi}^\pi x^4 dx + 0 + 0 = 2 \int_0^\pi x^4 dx$

$= 2 [\frac{1}{5} x^5]_0^\pi = 2 (\frac{1}{5} \pi^5 - 0) = \frac{2}{5} \pi^5$

3. 最終的な答え

(1) $1 = 1$, $2/3 = 3/4$

(2) $4 = 2$

(3) $5/6 = 1/16$

(4) $7/8 = 2/5$