関数 $y = \cos(\theta + \frac{\pi}{3}) + \cos\theta$ が与えられています。 (1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{3})$ を $\sin\theta$ と $\cos\theta$ で表す。 (2) 与えられた関数 $y$ を $y = \sqrt{A}\sin(\theta + B\pi)$ の形に変形する。 (3) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、関数 $y$ が最小値を取る時の $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos(\theta + \frac{\pi}{3}) + \cos\theta$ が与えられています。

(1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{3})$ を $\sin\theta$ と $\cos\theta$ で表す。

(2) 与えられた関数 $y$ を $y = \sqrt{A}\sin(\theta + B\pi)$ の形に変形する。

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、関数 $y$ が最小値を取る時の $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{3})$ の加法定理を用いる。

$\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = \cos\theta \cos\frac{\pi}{3} - \sin\theta \sin\frac{\pi}{3}$

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$、$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$

(2) 関数 $y$ を変形する。

$y = \cos(\theta + \frac{\pi}{3}) + \cos\theta = (\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta) + \cos\theta = \frac{3}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{3}{2}\cos\theta$

$y = \sqrt{(\frac{-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2}\sin(\theta + \alpha)$

$y = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4}}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{\frac{12}{4}}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{3}\sin(\theta + \alpha)$

ここで、$\cos\alpha = \frac{-\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$、$\sin\alpha = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{2}{3}\pi$

よって、$y = \sqrt{3}\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi)$

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $y$ が最小値を取る時、$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) = -1$

$\theta + \frac{2}{3}\pi = \frac{3}{2}\pi$

$\theta = \frac{3}{2}\pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{9}{6}\pi - \frac{4}{6}\pi = \frac{5}{6}\pi$

3. 最終的な答え

$\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{-\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta$

$y = \sqrt{3}\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi)$

$\theta = \frac{5}{6}\pi$