次の関数を微分します。 $y = \sqrt{\frac{1-4x}{1+3x}}$

1. 問題の内容

次の関数を微分します。

$y = \sqrt{\frac{1-4x}{1+3x}}$

2. 解き方の手順

まず、$y$を次のように書き換えます。

$y = \left(\frac{1-4x}{1+3x}\right)^{1/2}$

次に、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln \left(\frac{1-4x}{1+3x}\right)^{1/2} = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1-4x}{1+3x}\right)$

$\ln y = \frac{1}{2} [\ln(1-4x) - \ln(1+3x)]$

両辺を$x$について微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{-4}{1-4x} - \frac{3}{1+3x} \right]$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{-4(1+3x) - 3(1-4x)}{(1-4x)(1+3x)} \right]$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{-4-12x - 3 + 12x}{(1-4x)(1+3x)} \right]$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{-7}{(1-4x)(1+3x)} \right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-7}{2} \frac{y}{(1-4x)(1+3x)}$

ここで、$y = \sqrt{\frac{1-4x}{1+3x}}$を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{-7}{2} \frac{\sqrt{\frac{1-4x}{1+3x}}}{(1-4x)(1+3x)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-7}{2} \frac{\sqrt{1-4x}}{\sqrt{1+3x}} \frac{1}{(1-4x)(1+3x)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-7}{2} \frac{1}{\sqrt{1-4x} \sqrt{1+3x} (1-4x)(1+3x)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-7}{2} \frac{1}{(1-4x)^{3/2} (1+3x)^{3/2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-7}{2 (1-4x)^{3/2} (1+3x)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-7}{2 (1-4x)^{3/2} (1+3x)^{3/2}}$