関数 $f(x) = \sqrt{x+1}$ の導関数 $f'(x)$ を、導関数の定義に基づいて求める問題です。導関数の定義は以下の通りです。 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x+1}$ の導関数 $f'(x)$ を、導関数の定義に基づいて求める問題です。導関数の定義は以下の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

2. 解き方の手順

まず、$f(x+h)$ と $f(x)$ をそれぞれ求めます。

$f(x+h) = \sqrt{(x+h)+1} = \sqrt{x+h+1}$

$f(x) = \sqrt{x+1}$

次に、導関数の定義式に代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h+1} - \sqrt{x+1}}{h}$

このままでは不定形（$\frac{0}{0}$）となるため、分子を有理化します。分子と分母に $\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}$ を掛けます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h+1} - \sqrt{x+1}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h+1) - (x+1)}{h(\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1})}$

$h$ を約分します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}$

$h \to 0$ の極限を取ります。

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+0+1} + \sqrt{x+1}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+1}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$