定積分 $\int_{0}^{2} (x^2 + x + 5) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} (x^2 + x + 5) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の関数 $x^2 + x + 5$ を積分します。

$x^2$ の積分は $\frac{1}{3}x^3$、

$x$ の積分は $\frac{1}{2}x^2$、

$5$ の積分は $5x$ です。

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int (x^2 + x + 5) dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 5x + C$

次に、定積分の計算を行います。積分範囲は0から2なので、上記の不定積分に $x=2$ を代入した値から、$x=0$ を代入した値を引きます。

$x=2$ のとき:

$\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 + 5(2) = \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 10 = \frac{8}{3} + 2 + 10 = \frac{8}{3} + 12 = \frac{8}{3} + \frac{36}{3} = \frac{44}{3}$

$x=0$ のとき:

$\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 + 5(0) = 0$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{0}^{2} (x^2 + x + 5) dx = \frac{44}{3} - 0 = \frac{44}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{44}{3}$