(1) 関数 $y=(\frac{3}{2})^x$ のグラフと $y=(\frac{2}{3})^x$ のグラフの関係、および $y=(\frac{3}{2})^x$ のグラフと $y = \log_{\frac{3}{2}} x$ のグラフの関係を選択肢から選ぶ。 (2) 関数 $y = \log_{25} x$ と $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ のグラフが通る点の $x$ 座標を求め、それぞれの関数の増減傾向を選択肢から選ぶ。最後に、$1/2$、$\log_{25} \frac{7}{2}$、$\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$ の大小関係を選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y=(\frac{3}{2})^x$ のグラフと $y=(\frac{2}{3})^x$ のグラフの関係、および $y=(\frac{3}{2})^x$ のグラフと $y = \log_{\frac{3}{2}} x$ のグラフの関係を選択肢から選ぶ。

(2) 関数 $y = \log_{25} x$ と $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ のグラフが通る点の $x$ 座標を求め、それぞれの関数の増減傾向を選択肢から選ぶ。最後に、$1/2$、$\log_{25} \frac{7}{2}$、$\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$ の大小関係を選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = (\frac{3}{2})^x$ と $y = (\frac{2}{3})^x$ の関係について考える。

$y = (\frac{2}{3})^x = (\frac{3}{2})^{-x}$ であるから、$y = (\frac{2}{3})^x$ のグラフは $y = (\frac{3}{2})^x$ のグラフを $y$ 軸に関して対称移動したものである。

したがって、アの答えは「① y軸に関して対称」である。

$y = (\frac{3}{2})^x$ と $y = \log_{\frac{3}{2}} x$ の関係について考える。

$y = \log_{\frac{3}{2}} x$ は $y = (\frac{3}{2})^x$ の逆関数であるから、$y = (\frac{3}{2})^x$ のグラフと $y = \log_{\frac{3}{2}} x$ のグラフは直線 $y=x$ に関して対称である。

したがって、イの答えは「② 直線 $y=x$ に関して対称」である。

(2)

$y = \log_{25} x$ のグラフについて考える。

$y = \frac{1}{2}$ のとき、$\frac{1}{2} = \log_{25} x$ であるから、$x = 25^{\frac{1}{2}} = 5$。よって、グラフは点 $(5, \frac{1}{2})$ を通る。したがって、ウの答えは5である。

底が25>1なので、$x$ の値が増加するとき、$y$ の値も増加する。

したがって、エの答えは「⓪ $y$ の値は増加し、グラフは $x$ 軸に限りなく近づく」である。

$y = \log_{\frac{1}{4}} x$ のグラフについて考える。

$y = \frac{1}{2}$ のとき、$\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{4}} x$ であるから、$x = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$。よって、グラフは点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ を通る。したがって、オの答えは$\frac{1}{2}$である。

底が$\frac{1}{4} < 1$なので、$x$ の値が増加するとき、$y$ の値は減少する。

したがって、キの答えは「② $y$ の値は減少し、グラフは $x$ 軸に限りなく近づく」である。

$\log_{25} \frac{7}{2}$ と $\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$ について考える。

$25^{\frac{1}{2}} = 5 > \frac{7}{2} = 3.5$ であるから、$\frac{1}{2} > \log_{25} \frac{7}{2}$

$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = 2$ より、$\frac{3}{8} = (\frac{1}{4})^x$ の解は、$x > \frac{1}{2}$　となる。すなわち、$\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8} > \frac{1}{2}$。

したがって、$\log_{25} \frac{7}{2} < \frac{1}{2} < \log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$。

クの答えは「⑤ $\log_{25} \frac{7}{2} < \frac{1}{2} < \log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$」である。

3. 最終的な答え

ア: ①

イ: ②

ウ: 5

エ: ⓪

オ: 1/2

キ: ②

ク: ⑤