関数 $y = \log_2 x \cdot \log_2 \frac{2}{x}$ の $1 \le x \le 4$ における最大値を求めます。$t = \log_2 x$ とおくとき、$t$ のとり得る値の範囲、および $y$ を $t$ で表した式を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2 x \cdot \log_2 \frac{2}{x}$ の $1 \le x \le 4$ における最大値を求めます。$t = \log_2 x$ とおくとき、$t$ のとり得る値の範囲、および $y$ を $t$ で表した式を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$t = \log_2 x$ の取りうる範囲を求めます。

$1 \le x \le 4$ であるから、底が2である対数を取ると、

$\log_2 1 \le \log_2 x \le \log_2 4$

$0 \le t \le 2$

次に、$y$ を $t$ で表します。

$y = \log_2 x \cdot \log_2 \frac{2}{x} = \log_2 x \cdot (\log_2 2 - \log_2 x)$

$y = t(1-t) = -t^2 + t$

したがって、$y = -t^2 + t = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$ となります。

$y$ は、$t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{4}$ を取ります。

$t = \log_2 x = \frac{1}{2}$ より、$x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 2

ウエ: -1

オ: 1

カ: 1（$\sqrt{2}$に対応）

キ: $\frac{1}{4}$