関数 $f(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$ と $g(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$ が与えられている。 (1) $f(0)$ と $g(0)$ の値を求め、$f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。また、$g(x) = -2$ となる $x$ の値を求める。 (2) 以下の等式が常に成り立つように、キ、ク、ケ、コに当てはまる関数を $f(x), -f(x), g(x), -g(x)$ の中から選ぶ。 - $f(-x) =$ キ - $g(-x) =$ ク - $[f(x)]^2 - [g(x)]^2 =$ ケ - $g(2x) =$ コ $f(x)g(x)$ (3) 花子さんと太郎さんが、$f(x)$ と $g(x)$ の性質について議論している。太郎さんは三角関数の加法定理に類似した以下の式(A)～(D)を考えた。花子さんは成り立つ式を見つけるために、$\beta$ に具体的な値を代入して調べることを提案した。 - $f(\alpha - \beta) = f(\alpha)g(\beta) + g(\alpha)f(\beta)$ (A) - $f(\alpha + \beta) = f(\alpha)f(\beta) + g(\alpha)g(\beta)$ (B) - $g(\alpha - \beta) = f(\alpha)f(\beta) + g(\alpha)g(\beta)$ (C) - $g(\alpha + \beta) = f(\alpha)g(\beta) - g(\alpha)f(\beta)$ (D) (1)と(2)で示されたことを利用すると、(A)～(D)のうち、サ以外の3つは成り立たないことがわかる。サは左辺と右辺をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。サに当てはまる式を選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$ と $g(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$ が与えられている。

(1) $f(0)$ と $g(0)$ の値を求め、$f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。また、$g(x) = -2$ となる $x$ の値を求める。

(2) 以下の等式が常に成り立つように、キ、ク、ケ、コに当てはまる関数を $f(x), -f(x), g(x), -g(x)$ の中から選ぶ。

- $f(-x) =$ キ

- $g(-x) =$ ク

- $[f(x)]^2 - [g(x)]^2 =$ ケ

- $g(2x) =$ コ $f(x)g(x)$

(3) 花子さんと太郎さんが、$f(x)$ と $g(x)$ の性質について議論している。太郎さんは三角関数の加法定理に類似した以下の式(A)～(D)を考えた。花子さんは成り立つ式を見つけるために、$\beta$ に具体的な値を代入して調べることを提案した。

- $f(\alpha - \beta) = f(\alpha)g(\beta) + g(\alpha)f(\beta)$ (A)

- $f(\alpha + \beta) = f(\alpha)f(\beta) + g(\alpha)g(\beta)$ (B)

- $g(\alpha - \beta) = f(\alpha)f(\beta) + g(\alpha)g(\beta)$ (C)

- $g(\alpha + \beta) = f(\alpha)g(\beta) - g(\alpha)f(\beta)$ (D)

(1)と(2)で示されたことを利用すると、(A)～(D)のうち、サ以外の3つは成り立たないことがわかる。サは左辺と右辺をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。サに当てはまる式を選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

- $f(0) = \frac{2^0 + 2^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

- $g(0) = \frac{2^0 - 2^{-0}}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$

- $f(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$ は相加平均と相乗平均の関係より、$2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$。したがって、$f(x) \ge 1$。最小値は $f(x)=1$ であり、これは $2^x = 2^{-x}$、つまり $x=0$ のときに成立する。

- $g(x) = -2$ となるとき、$\frac{2^x - 2^{-x}}{2} = -2$。$2^x - 2^{-x} = -4$。$2^x = t$ とおくと、$t - \frac{1}{t} = -4$。$t^2 + 4t - 1 = 0$。$t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$。$t = 2^x > 0$ より、$t = -2 + \sqrt{5}$。したがって、$x = \log_2(-2 + \sqrt{5})$。

(2)

- $f(-x) = \frac{2^{-x} + 2^{-(-x)}}{2} = \frac{2^{-x} + 2^x}{2} = f(x)$

- $g(-x) = \frac{2^{-x} - 2^{-(-x)}}{2} = \frac{2^{-x} - 2^x}{2} = - \frac{2^x - 2^{-x}}{2} = -g(x)$

- $[f(x)]^2 - [g(x)]^2 = (\frac{2^x + 2^{-x}}{2})^2 - (\frac{2^x - 2^{-x}}{2})^2 = \frac{(2^x + 2^{-x})^2 - (2^x - 2^{-x})^2}{4} = \frac{(2^{2x} + 2 + 2^{-2x}) - (2^{2x} - 2 + 2^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1$

- $g(2x) = \frac{2^{2x} - 2^{-2x}}{2}$。$f(x)g(x) = (\frac{2^x + 2^{-x}}{2})(\frac{2^x - 2^{-x}}{2}) = \frac{2^{2x} - 2^{-2x}}{4} = \frac{1}{2} g(2x)$。よって、$g(2x) = 2 f(x) g(x)$。

(3)

(1)より、$f(0) = 1, g(0) = 0$。

(2)より、$f(-x) = f(x), g(-x) = -g(x)$。

(A) で $\beta = 0$ とすると、$f(\alpha) = f(\alpha)g(0) + g(\alpha)f(0) = f(\alpha) \cdot 0 + g(\alpha) \cdot 1 = g(\alpha)$。これは一般に成り立たないので、(A) は成り立たない。

(B) で $\beta = 0$ とすると、$f(\alpha) = f(\alpha)f(0) + g(\alpha)g(0) = f(\alpha) \cdot 1 + g(\alpha) \cdot 0 = f(\alpha)$。これは常に成り立つ。

(C) で $\beta = 0$ とすると、$g(\alpha) = f(\alpha)f(0) + g(\alpha)g(0) = f(\alpha) \cdot 1 + g(\alpha) \cdot 0 = f(\alpha)$。これは一般に成り立たないので、(C) は成り立たない。

(D) で $\beta = 0$ とすると、$g(\alpha) = f(\alpha)g(0) - g(\alpha)f(0) = f(\alpha) \cdot 0 - g(\alpha) \cdot 1 = -g(\alpha)$。これは $g(\alpha)=0$ のときのみ成り立つので、一般には成り立たない。

ここで、$g(2x) = \frac{2^{2x} - 2^{-2x}}{2} = \frac{(2^x - 2^{-x})(2^x + 2^{-x})}{2} = 2 \frac{(2^x - 2^{-x})}{2} \frac{(2^x + 2^{-x})}{2} = 2 f(x) g(x)$。

(D)で $\alpha=x, \beta=x$ とすると、$g(2x) = f(x)g(x) - g(x)f(x) = 0$。これは成り立たない。

(B)を確認する。$f(\alpha + \beta) = \frac{2^{\alpha+\beta} + 2^{-(\alpha+\beta)}}{2} = \frac{2^{\alpha}2^{\beta} + 2^{-\alpha}2^{-\beta}}{2}$.

$f(\alpha)f(\beta) + g(\alpha)g(\beta) = \frac{2^{\alpha} + 2^{-\alpha}}{2} \frac{2^{\beta} + 2^{-\beta}}{2} + \frac{2^{\alpha} - 2^{-\alpha}}{2} \frac{2^{\beta} - 2^{-\beta}}{2} = \frac{2^{\alpha+\beta} + 2^{\alpha-\beta} + 2^{-\alpha+\beta} + 2^{-\alpha-\beta} + 2^{\alpha+\beta} - 2^{\alpha-\beta} - 2^{-\alpha+\beta} + 2^{-\alpha-\beta}}{4} = \frac{2(2^{\alpha+\beta} + 2^{-\alpha-\beta})}{4} = \frac{2^{\alpha+\beta} + 2^{-(\alpha+\beta)}}{2}$。

したがって、(B)は成り立つ。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 0

ウ: 0

エ: 1

オ: 5

カ: 2

キ: 0

ク: 3

ケ: 0

コ: 2

サ: 1