曲線 $y = \cos x$ 上の3点 $(0, 1)$, $(\theta, \cos \theta)$, $(-\theta, \cos \theta)$ (ただし $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) を通る円の半径を $r$ とするとき、$\lim_{\theta \to +0} r$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \cos x$ 上の3点 $(0, 1)$, $(\theta, \cos \theta)$, $(-\theta, \cos \theta)$ (ただし $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) を通る円の半径を $r$ とするとき、$\lim_{\theta \to +0} r$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ とおく。

この円が3点 $(0, 1)$, $(\theta, \cos \theta)$, $(-\theta, \cos \theta)$ を通るので、以下の3つの式が成り立つ。

\begin{align} \label{eq:1} (0-a)^2 + (1-b)^2 &= r^2 \\ (\theta-a)^2 + (\cos \theta-b)^2 &= r^2 \\ (-\theta-a)^2 + (\cos \theta-b)^2 &= r^2 \end{align}

(2)と(3)の式から、

$(\theta - a)^2 + (\cos \theta - b)^2 = (-\theta - a)^2 + (\cos \theta - b)^2$

$(\theta - a)^2 = (-\theta - a)^2$

$\theta^2 - 2a\theta + a^2 = \theta^2 + 2a\theta + a^2$

$-2a\theta = 2a\theta$

$4a\theta = 0$

$\theta \neq 0$ なので、$a=0$ が得られる。

次に、(1)の式に $a=0$ を代入すると、

$(0-0)^2 + (1-b)^2 = r^2$

$(1-b)^2 = r^2$

(2)の式に $a=0$ を代入すると、

$(\theta - 0)^2 + (\cos \theta - b)^2 = r^2$

$\theta^2 + (\cos \theta - b)^2 = r^2$

これら2つの式より、

$(1-b)^2 = \theta^2 + (\cos \theta - b)^2$

$1 - 2b + b^2 = \theta^2 + \cos^2 \theta - 2b\cos \theta + b^2$

$1 - 2b = \theta^2 + \cos^2 \theta - 2b\cos \theta$

$2b(\cos \theta - 1) = \theta^2 + \cos^2 \theta - 1$

$2b(\cos \theta - 1) = \theta^2 - \sin^2 \theta$

$b = \frac{\theta^2 - \sin^2 \theta}{2(\cos \theta - 1)}$

ここで、$1-b = \sqrt{r^2} = r$ なので、$r = |1-b| = \left|1 - \frac{\theta^2 - \sin^2 \theta}{2(\cos \theta - 1)}\right|$ を求める。

$r = \left|\frac{2\cos \theta - 2 - \theta^2 + \sin^2 \theta}{2(\cos \theta - 1)}\right| = \left|\frac{2\cos \theta - 2 - \theta^2 + 1-\cos^2 \theta}{2(\cos \theta - 1)}\right| = \left|\frac{-\cos^2 \theta + 2\cos \theta -1 - \theta^2}{2(\cos \theta - 1)}\right|$

$r = \left|\frac{-(\cos \theta - 1)^2 - \theta^2}{2(\cos \theta - 1)}\right| = \left|\frac{(\cos \theta - 1)^2 + \theta^2}{2(1 - \cos \theta)}\right| = \frac{(\cos \theta - 1)^2 + \theta^2}{2(1 - \cos \theta)}$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ より、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\cos \theta - 1}{1-\cos \theta} = -1$ であり、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{(\cos \theta - 1)^2 + \theta^2}{2(1 - \cos \theta)} = \lim_{\theta \to 0} \frac{(\cos \theta - 1)^2}{2(1 - \cos \theta)} + \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^2}{2(1 - \cos \theta)} = \lim_{\theta \to 0} \frac{-(\cos \theta - 1)}{2} + \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^2}{2(1 - \cos \theta)} = \frac{0}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{2} = 1$.

3. 最終的な答え

$\lim_{\theta \to +0} r = 1$