(1) 定積分 $\int_{1}^{3} \frac{1}{(5-x)^2} dx$ を置換積分を用いて計算する。 (2) 定積分 $\int_{1}^{e} x^3 \log x dx$ を部分積分を用いて計算する。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{1}^{3} \frac{1}{(5-x)^2} dx$ を置換積分を用いて計算する。

(2) 定積分 $\int_{1}^{e} x^3 \log x dx$ を部分積分を用いて計算する。

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{3} \frac{1}{(5-x)^2} dx$

$u = 5 - x$ と置換すると、$du = -dx$ となり、$dx = -du$ である。

$x = 1$ のとき $u = 5 - 1 = 4$

$x = 3$ のとき $u = 5 - 3 = 2$

よって、

$\int_{1}^{3} \frac{1}{(5-x)^2} dx = \int_{4}^{2} \frac{1}{u^2} (-du) = - \int_{4}^{2} u^{-2} du = \int_{2}^{4} u^{-2} du$

$= \left[ -u^{-1} \right]_{2}^{4} = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{2}^{4} = -\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

(2) $\int_{1}^{e} x^3 \log x dx$

$I = \int_{1}^{e} x^3 \log x dx$

部分積分法 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いる。

$u = \log x$, $dv = x^3 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$

$I = \left[ \frac{x^4}{4} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx = \left[ \frac{x^4}{4} \log x \right]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^3 dx$

$= \left[ \frac{x^4}{4} \log x \right]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{e} = \left[ \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} \right]_{1}^{e}$

$= \left( \frac{e^4}{4} \log e - \frac{e^4}{16} \right) - \left( \frac{1^4}{4} \log 1 - \frac{1^4}{16} \right) = \frac{e^4}{4} - \frac{e^4}{16} - 0 + \frac{1}{16} = \frac{4e^4 - e^4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3e^4 + 1}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{3e^4 + 1}{16}$