$\lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{x+4} + b}{x} = 1$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{x+4} + b}{x} = 1$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

極限が存在するためには、まず $x \to 0$ のとき、分子が $0$ に収束する必要がある。つまり、

$a\sqrt{0+4} + b = 0$

$2a + b = 0$

$b = -2a$

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{x+4} - 2a}{x} = 1$

$a \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = 1$

ここで、$\frac{\sqrt{x+4} - 2}{x}$ の極限を求めるために、分子を有理化する。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+4} - 2)(\sqrt{x+4} + 2)}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+4) - 4}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2}$

$x \to 0$ のとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} = \frac{1}{\sqrt{0+4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

したがって、

$a \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = a \cdot \frac{1}{4} = 1$

$a = 4$

$b = -2a = -2(4) = -8$

3. 最終的な答え

$a = 4, b = -8$