問題4は与えられた関数を不定積分する問題で、問題5は与えられた関数を定積分する問題です。 問題5のみを解きます。 定積分 $\int_{0}^{2} (x^2 + x + 5) \, dx$ を求めます。

1. 問題の内容

問題4は与えられた関数を不定積分する問題で、問題5は与えられた関数を定積分する問題です。

問題5のみを解きます。

定積分 $\int_{0}^{2} (x^2 + x + 5) \, dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int (x^2 + x + 5) \, dx$ を計算します。

それぞれの項を積分します。

$\int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1$

$\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2$

$\int 5 \, dx = 5x + C_3$

したがって、

$\int (x^2 + x + 5) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 5x + C$

次に、この不定積分を使って定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (x^2 + x + 5) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 5x \right]_0^2$

$= \left( \frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 + 5(2) \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 + 5(0) \right)$

$= \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 10 - 0$

$= \frac{8}{3} + 2 + 10 = \frac{8}{3} + 12 = \frac{8}{3} + \frac{36}{3} = \frac{44}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{44}{3}$