与えられた3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -2} \frac{x^3+8}{x^2-4x-12}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x}-x)$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -2} \frac{x^3+8}{x^2-4x-12}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x}-x)$

2. 解き方の手順

(1)

$x^3+8$ は $(x+2)$ を因数に持つので、因数分解します。$x^2-4x-12$ も因数分解します。

$x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$

$x^2-4x-12 = (x+2)(x-6)$

したがって、

$\lim_{x \to -2} \frac{x^3+8}{x^2-4x-12} = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x+2)(x-6)} = \lim_{x \to -2} \frac{x^2-2x+4}{x-6}$

$x$ に -2 を代入すると

$\frac{(-2)^2-2(-2)+4}{-2-6} = \frac{4+4+4}{-8} = \frac{12}{-8} = -\frac{3}{2}$

(2)

分子の有理化を行います。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3)}{x(\sqrt{x+9}+3)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+9)-9}{x(\sqrt{x+9}+3)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+9}+3}$

$x$ に 0 を代入すると

$\frac{1}{\sqrt{0+9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$

(3)

$\sqrt{x^2+2x}-x$ を有理化します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x}-x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+2x}-x)(\sqrt{x^2+2x}+x)}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+2x)-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}$

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}$

$x \to \infty$ のとき $\frac{2}{x} \to 0$ なので

$\frac{2}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2}$

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $1$