与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = xe^{-x}$ (2) $y = e^{2x} \sin x$ (3) $y = \frac{\log x}{x}$ (4) $y = \frac{(x+3)^2 (x-5)^3}{(x-1)^4}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = xe^{-x}$

(2) $y = e^{2x} \sin x$

(3) $y = \frac{\log x}{x}$

(4) $y = \frac{(x+3)^2 (x-5)^3}{(x-1)^4}$

2. 解き方の手順

(1) $y = xe^{-x}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = x$, $v = e^{-x}$ とすると、

$u' = 1$, $v' = -e^{-x}$

したがって、

$y' = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$

(2) $y = e^{2x} \sin x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = e^{2x}$, $v = \sin x$ とすると、

$u' = 2e^{2x}$, $v' = \cos x$

したがって、

$y' = (e^{2x})' \sin x + e^{2x}(\sin x)' = 2e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x = e^{2x}(2 \sin x + \cos x)$

(3) $y = \frac{\log x}{x}$ の微分

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

$u = \log x$, $v = x$ とすると、

$u' = \frac{1}{x}$, $v' = 1$

したがって、

$y' = \frac{(\log x)'x - (\log x)(x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

(4) $y = \frac{(x+3)^2 (x-5)^3}{(x-1)^4}$ の微分

両辺の対数を取ってから微分します。

$\log y = \log \frac{(x+3)^2 (x-5)^3}{(x-1)^4} = 2\log(x+3) + 3\log(x-5) - 4\log(x-1)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x-5} - \frac{4}{x-1}$

したがって、

$y' = y \left(\frac{2}{x+3} + \frac{3}{x-5} - \frac{4}{x-1}\right) = \frac{(x+3)^2 (x-5)^3}{(x-1)^4} \left(\frac{2}{x+3} + \frac{3}{x-5} - \frac{4}{x-1}\right)$

$y' = \frac{(x+3)^2 (x-5)^3}{(x-1)^4} \left(\frac{2(x-5)(x-1) + 3(x+3)(x-1) - 4(x+3)(x-5)}{(x+3)(x-5)(x-1)}\right)$

$y' = \frac{(x+3) (x-5)^2}{(x-1)^5} \left(2(x^2-6x+5) + 3(x^2+2x-3) - 4(x^2-2x-15) \right)$

$y' = \frac{(x+3) (x-5)^2}{(x-1)^5} \left(2x^2 - 12x + 10 + 3x^2 + 6x - 9 - 4x^2 + 8x + 60\right)$

$y' = \frac{(x+3) (x-5)^2}{(x-1)^5} \left(x^2 + 2x + 61\right)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (1-x)e^{-x}$

(2) $y' = e^{2x}(2 \sin x + \cos x)$

(3) $y' = \frac{1 - \log x}{x^2}$

(4) $y' = \frac{(x+3) (x-5)^2 (x^2+2x+61)}{(x-1)^5}$