与えられた6つの関数について、不定積分を求めよ。 (1) $\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) \, dx$ (2) $\int \cos x \, dx$ (3) $\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$ (4) $\int \frac{1}{\tan x} \, dx$ (5) $\int xe^x \, dx$ (6) $\int \log x \, dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数について、不定積分を求めよ。

(1) $\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) \, dx$

(2) $\int \cos x \, dx$

(3) $\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$

(4) $\int \frac{1}{\tan x} \, dx$

(5) $\int xe^x \, dx$

(6) $\int \log x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) 多項式の積分: 各項を個別に積分します。

$\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) \, dx = 2 \int x^3 \, dx + 3 \int x^2 \, dx - 4 \int x \, dx + 5 \int 1 \, dx$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いて計算します。

(2) 三角関数の積分: $\cos x$ の積分を求めます。

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

(3) 置換積分: $u = x^2 + 1$ と置換します。すると $du = 2x \, dx$ となります。

$\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \log |u| + C = \frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + C$

(4) 三角関数の変形と積分: $\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$ と変形します。

$u = \sin x$ と置換すると $du = \cos x \, dx$ となります。

$\int \frac{1}{\tan x} \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \log |u| + C = \log |\sin x| + C$

(5) 部分積分: $u = x$, $dv = e^x \, dx$ とすると, $du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int xe^x \, dx = \int u \, dv = uv - \int v \, du = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$

(6) 部分積分: $u = \log x$, $dv = dx$ とすると, $du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x \, dx = \int u \, dv = uv - \int v \, du = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C$

(2) $\sin x + C$

(3) $\frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + C$

(4) $\log |\sin x| + C$

(5) $(x-1)e^x + C$

(6) $x \log x - x + C$