与えられた和 $S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{k^2 + 1}{k^2 - 1}$ を計算し、$n$ の分数式で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{k^2 + 1}{k^2 - 1}$ を計算し、$n$ の分数式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{k^2 + 1}{k^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$\frac{k^2 + 1}{k^2 - 1} = \frac{k^2 - 1 + 2}{k^2 - 1} = 1 + \frac{2}{k^2 - 1} = 1 + \frac{2}{(k-1)(k+1)}$

次に、$\frac{2}{(k-1)(k+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{2}{(k-1)(k+1)} = \frac{A}{k-1} + \frac{B}{k+1}$ とおくと、

$2 = A(k+1) + B(k-1)$

$k = 1$ のとき $2 = 2A$ より $A = 1$

$k = -1$ のとき $2 = -2B$ より $B = -1$

したがって、

$\frac{2}{(k-1)(k+1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}$

よって、

$\frac{k^2 + 1}{k^2 - 1} = 1 + \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}$

$S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{k^2 + 1}{k^2 - 1} = \sum_{k=2}^{n} (1 + \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}) = \sum_{k=2}^{n} 1 + \sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1})$

$\sum_{k=2}^{n} 1 = n - 1$

$\sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}) = (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \cdots + (\frac{1}{n-3} - \frac{1}{n-1}) + (\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n}) + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1})$

$= 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{3}{2} - \frac{n+1+n}{n(n+1)} = \frac{3}{2} - \frac{2n+1}{n(n+1)}$

したがって、

$S_n = n - 1 + \frac{3}{2} - \frac{2n+1}{n(n+1)} = n + \frac{1}{2} - \frac{2n+1}{n(n+1)} = \frac{2n(n(n+1)) + n(n+1) - 2(2n+1)}{2n(n+1)} = \frac{2n^3 + 2n^2 + n^2 + n - 4n - 2}{2n(n+1)} = \frac{2n^3 + 3n^2 - 3n - 2}{2n(n+1)}$

さらに因数分解を行うと、

$2n^3 + 3n^2 - 3n - 2 = (n+2)(2n^2-n-1)=(n+2)(2n+1)(n-1)$

よって

$S_n = \frac{(n+2)(2n+1)(n-1)}{2n(n+1)}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{(n+2)(2n+1)(n-1)}{2n(n+1)}$