$\lim_{n \to \infty} (a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2}) = 0$ が成り立つような実数 $a, b, c$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2}) = 0$ が成り立つような実数 $a, b, c$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{n}$ でくくり出すと、以下のようになります。

$\lim_{n \to \infty} (a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2}) = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (a + b\sqrt{\frac{n+1}{n}} + c\sqrt{\frac{n+2}{n}})$

ここで、$n \to \infty$ のとき、$\frac{n+1}{n} \to 1$ および $\frac{n+2}{n} \to 1$ となるため、

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n+2}{n}} = 1$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (a + b\sqrt{\frac{n+1}{n}} + c\sqrt{\frac{n+2}{n}}) = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (a + b + c)$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$ は発散するため、$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (a + b + c) = 0$ が成り立つためには、$a + b + c = 0$ である必要があります。

しかし、これだけでは条件が不足しているので、より精密な議論が必要となります。

$\sqrt{n+1} = \sqrt{n(1 + \frac{1}{n})} = \sqrt{n} \sqrt{1 + \frac{1}{n}} \approx \sqrt{n} (1 + \frac{1}{2n})$ (テイラー展開または二項定理)

$\sqrt{n+2} = \sqrt{n(1 + \frac{2}{n})} = \sqrt{n} \sqrt{1 + \frac{2}{n}} \approx \sqrt{n} (1 + \frac{1}{n})$

よって、

$a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2} \approx a\sqrt{n} + b\sqrt{n}(1 + \frac{1}{2n}) + c\sqrt{n}(1 + \frac{1}{n}) = (a+b+c)\sqrt{n} + ( \frac{b}{2} + c ) \frac{1}{\sqrt{n}}$

$\lim_{n \to \infty} a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2} = \lim_{n \to \infty} ( (a+b+c)\sqrt{n} + ( \frac{b}{2} + c ) \frac{1}{\sqrt{n}})$

これが0になるためには、

$a + b + c = 0$

かつ

$\frac{b}{2} + c = 0$

が成立する必要がある。

2番目の式より $b = -2c$. これを1番目の式に代入すると $a - 2c + c = 0$ なので $a = c$.

3. 最終的な答え

$a = c, b = -2c$ (cは任意の実数).

よって, $(a,b,c) = (c, -2c, c)$ where c is a real number.