数列 $\{a_n\}$ は初項が2、公比が $\frac{1}{3}$ の等比数列である。このとき、数列 $\{na_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^n ka_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項が2、公比が $\frac{1}{3}$ の等比数列である。このとき、数列 $\{na_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^n ka_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されるので、

$a_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

となる。

次に、数列 $\{na_n\}$ の第 $k$ 項は $ka_k = k \cdot 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} = 2k \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}$ である。

したがって、$S_n = \sum_{k=1}^n ka_k = \sum_{k=1}^n 2k \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} = 2 \sum_{k=1}^n k \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}$ となる。

ここで、$T_n = \sum_{k=1}^n k x^{k-1}$ とおくと、$S_n = 2 T_n$ であり、$x = \frac{1}{3}$ である。

$T_n = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + nx^{n-1}$

$x T_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^n$

これらの差を計算すると、

$(1-x)T_n = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} - nx^n = \frac{1-x^n}{1-x} - nx^n$

$T_n = \frac{1}{(1-x)^2} - \frac{x^n}{(1-x)^2} - \frac{nx^n}{1-x}$

$x = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$1-x = \frac{2}{3}$ なので、$(1-x)^2 = \frac{4}{9}$ となり、$\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{9}{4}$ となる。

$T_n = \frac{9}{4} - \frac{9}{4} \left(\frac{1}{3}\right)^n - \frac{n}{\frac{2}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{9}{4} - \frac{9}{4} \left(\frac{1}{3}\right)^n - \frac{3n}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{9}{4} - \left(\frac{9}{4} + \frac{6n}{4}\right) \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{9}{4} - \left(\frac{9+6n}{4}\right) \left(\frac{1}{3}\right)^n$

したがって、$S_n = 2T_n = 2\left[ \frac{9}{4} - \frac{9+6n}{4} \left(\frac{1}{3}\right)^n \right] = \frac{9}{2} - \frac{9+6n}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{9}{2} - \frac{3(3+2n)}{2 \cdot 3^n} = \frac{9}{2} - \frac{3+2n}{2 \cdot 3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2} - \frac{2n+3}{2 \cdot 3^{n-1}}$