数列 $\{a_n\}$ は初項 $2$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。このとき、数列 $\{na_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} k a_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項 $2$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。このとき、数列 $\{na_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} k a_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ は初項 $2$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であるから、一般項は

$a_n = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

である。

したがって、求める和 $S_n$ は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k a_k = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2 \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} = 2 \sum_{k=1}^{n} k \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}$

となる。

ここで、$T_n = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1}$ とおくと、

$T_n = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + nx^{n-1}$

である。

両辺に $x$ を掛けると、

$x T_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^n$

となる。

$T_n - x T_n$ を計算すると、

$T_n - x T_n = (1-x) T_n = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} - nx^n = \frac{1 - x^n}{1-x} - nx^n = \frac{1 - x^n - nx^n(1-x)}{1-x}$

したがって、

$T_n = \frac{1 - x^n - nx^n(1-x)}{(1-x)^2} = \frac{1 - x^n - nx^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2}$

$x = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$T_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n - n \left(\frac{1}{3}\right)^n + n \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\left(1 - \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n - n \left(\frac{1}{3}\right)^n + \frac{n}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^n}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{1 - \frac{2n}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^n - \left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4} \left(1 - \left(\frac{2n}{3} + 1\right) \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)$

よって、

$S_n = 2 T_n = 2 \cdot \frac{9}{4} \left(1 - \left(\frac{2n}{3} + 1\right) \left(\frac{1}{3}\right)^n\right) = \frac{9}{2} \left(1 - \left(\frac{2n}{3} + 1\right) \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{9}{2} \left(1 - \left(\frac{2n}{3} + 1\right) \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)$

あるいは

$S_n = \frac{9}{2} - \frac{3n+9}{2 \cdot 3^n}$